Selasa, 06 Mei 2014

Bilangan Prima dan Bilangan Berpangkat



“Bilangan Prima dan Bilangan Berpangkat”
Tugas ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah
“ Konsentrasi Matematika (Bilangan)“


Disusun Oleh :
Dodik Wijiatmiko                    210611055


Dosen Pengampu :
Kurnia Hidayati, M.Pd.

JURUSAN TARBIYAH
PRODI PENDIDIKAN GURU MADRASAH IBTIDAIYAH
KELAS PG B / SEMESTER VI

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)
PONOROGO
2014

A.    Bilangan Prima
Bilangan prima adalah sebarang bilangan bulat positif yang mempunyai tepat dua pembagi positif berbeda yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Missal 3 adalah bilangan prima, karena hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan 3. 31 juga prima, karena hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan 31. Sedangkan kebalikannya adalah Bilangan Komposit yaitu sebarang bilangan bulat lebih besar dari 1 yang mempunyai suatu faktor positif selain 1 dan dirinya sendiri. Missal 8 mempunyai lebih dari dua faktor, yaitu 1, 2, 4, dan 8. Jadi 8 bukan merupakan bilangan prima.1 juga bukanlah merupakan prima, karena hanya mempunyai satu faktor, yaitu hanya 1. Dan perlu diingat bahwa 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap.
Suatu cara untuk menemukan seluruh bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat yang diberikan adalah menggunakan saringan Eratosthenes. Jika semua bilangan asli lebih besar 1 ditempatkan pada suatu “saringan” maka bilangan yang bukan bilangan prima diberi tanda silang (artinya jatuh melalui lobang saringan). Bilangan-bilangan yang tersisa adalah bilangan-bilangan prima.
Langkah-langkah untuk melakukan penyaringan bilangan prima sebagai berikut:
1.      Silanglah blangan 1, karena 1 bukan bilangan prima
2.      Silanglah semua kelipatan bilangan 2, kecuali bilangan 2 (karena 2 merupakan bilangan prima)
3.      Silanglah semua kelipatan bilangan 3, kecuali bilangan 3 (karena 3 merupakan bilangan prima)
4.      Silanglah semua kelipatan bilangan 5, kecuali bilangan 5 (karena 5 merupakan bilangan prima)
5.      Silanglah semua kelipatan bilangan 7, kecuali bilangan 7 (karena 7 merupakan bilangan prima)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Dari proses penyaringan di atas didapat himpunan bilangan prima antara 1 – 100 yaitu P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}.
Faktorisasi prima adalah suatu faktorisasi yang hanya memuat bilangan-bilangan prima. Untuk mendapatkan faktorisasi prima dari sebarang bilangan komposit dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara.
1.      Bilangan komposit tersebut ditulis sebagai hasil kali dari dua buah bilangan yang lebih kecil. Kemudian bilangan yang lebih kecil tersebut difaktorkan sampai diperoleh bilangan terkecil yang merupakan bilangan prima.
Contoh:
                  Faktorisasi prima dari 27 = (3) (9) = (3) (3 x3) = 3 x 3 x 3 =
                  Faktorisasi prima dari 40 = (4) (10) = (2 x 2) 2 x 5)
                                                                            = 2 x 2 x 2 x 5 =  x 5
Cara di atas mudah bila digunakan pada bilangan komposit yang nilainya tidak terlalu besar.
2.      Untuk mencari faktorisasi prima pada bilangan yang bernilai besar, lebih mudah bila dilakukan dengan menggunakan pohon factor.
Contoh :
                  Faktorisasi prima daari 160 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 =  x 5
Dapat diperoleh dengan cara membuat pohon factor seperti di bawah ini

                              160
                  2                      80
                              2                      40
                                          2                      20
                                                      2                      10
                                                                  2                      5
Sifat 1.
Setiap bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima
dalam satu dan hanya satu cara.
Contoh: faktorisasi prima dari 260
            Jawab:
                        260
            2                      130
                        2                      65
                                    5                      13
                                                13                    1
Jadi faktorisasi prima dari 260 adalah   . 5 . 13

Sifat 2.
Jika faktorisasi prima suatu bilangan n dan n = . . .   .   . , maka
banyaknya pembagi n adalah ( + 1) ( + 1) ( + 3) .   .   .  ( + 1).
Contoh : tentukan semua pembagi 324
Jawab
Faktorisasi prima dari 324 adalah  . ; dan ada 3 . 5 atau  15 pembagi. Pembagi-pembagi  adalah 1, 2, dan 4. Pembagi-pembegi  adalah 1, 3, 9, 27, dan 81. Dengan demikian, pembagi-pembagi 324 adalah 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 81, 162, dan 324.
Sifat 3.
Misalkan d ≠ 0 dan n ≠ 0. Jika d adalah faktor dari n maka n/d adalah faktor dari n.
Contoh:  faktor dari 4 adalah 2 . 2 maka 4/2 adalah factor dari 4.
Sifat 4.
Jika n adalah suatu bilangan komposit maka n mempunyai suatu faktor prima p
sedemikian sehingga  ≤ n.
Contoh: 180 adalah bilangan komposit
        bukti        faktor dari 180 adalah  .  . 5
·           180
4    180
·           180
9    180
·           180
25  180

Sifat 5.
Jika n adalah suatu bilangan bulat lebih besar dari 1 dan tidak dapat dibagi oleh
sebarang bilangan prima p maka n adalah bilangan prima.
Contoh:  397 adalah bilangan prima.
Bilangan-bilangan prima p yang mengakibatkan  ≤ 397 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 17, dan 19. Karena masing-masing bilangan tersebut bukan merupakan factor dari 397 maka397 adalah bilangan prima.




B.     Bilangan Berpangkat
Konsep pangkat bilangan berawal dari perkalian, yang bertujuan untuk meringkas penulisan perkalian dari bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Sehingga
2 × 2 × 2 = 23
3 × 3 × 3 × 3 = 34  dan seterusnya.
Secara umum, bilangan berpangkat dapat ditulis sebagai berikut:
an = a × a × a ×……..× a ( sebanyak n faktor)
dimana a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.
Sifat-sifat bilangan berpangkat sebagai berikut:
1.       = 1, di mana a  0.
Contoh :
                         = 1
2.       = 1/ , di mana a  0.
Contoh :
                         = 1/  
3.       .  =
Contoh :
                         +  =  =  
4.       /  =   di mana a  0
Contoh :
                        /  =  =  
5.      ( =
Contoh :
                        ( =  =
6.      (a/b = /  di mana b  0
Contoh :
                        (2/3 = / 
7.       =  .  
Contoh :
                         =  .  
8.      (a/b = (b/a   di mana a  0 dan b  0
Contoh :
                        (2/3 = (3/2

Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)